Anna Klaras Vater Friedrich Heinrich Schmelzkopf war Lehrer, ihre Mutter Anna, geb. Brandt, führte den Haushalt. Anna Klara wuchs mit sechs Geschwistern auf. Sie besuchte eine Höhere Mädchenschule und erlangte den Lehrerinnenberuf in den Fächern Englisch und Biologie. Sie unterrichtete an einer städtischen Schule in Braunschweig und war außerdem journalistisch tätig.
Geprägt von den Auswirkungen der Lebensreformbewegung des 19.Jahrhunderts und der bürgerlichen Jugendbewegung war sie begeisterter Wandervogel: Gesund leben, im Einklang mit der Natur leben, das Bedürfnis nach Frieden - verknüpften sich in der Person Anna Klaras mit Zielen der bürgerlichen Frauenbewegung und der sozialen Frage. Das Ende des Kaiserreichs und die Weimarer Republik waren gekennzeichnet von tiefgreifenden sozialen und politischen Veränderungen. Auf der einen Seite ein aufstrebendes Bürgertum, auf der anderen Seite die industrielle Revolution, die Vermassung der Gesellschaft, das Entstehen einer lohnabhängigen Industriearbeiterschaft, die um ihre soziale Existenz kämpfen musste. Etliche Frauen aus bürgerlichen und adeligen Kreisen empfanden es als Aufgabe und Herausforderung, in die Gesellschaft hineinzuwirken, karitativ, menschlich, in gewissem Sinne auch mütterlich. Sie übernahmen damit zunehmend soziale und politische Aufgaben. So bedeutete Alkoholismus in der Gesellschaft und besonders in der Arbeiterschaft, dass der Wochenlohn "versoffen" wurde, Gewalttätigkeit in der Familie zunahm und Kinder und Frauen besonders zu leiden hatten. Hier setzte die Frauenabstinenzbewegung an.
Sie heiratete 1912 Paul Fischer, der aus einer traditionsreichen Theologenfamilie stammte, sich aber für den Lehrerberuf entschieden hatte. Durch eine zufällige Begegnung mit Ottilie Hoffmann (1913) wurde sie auf die Abstinenzfrage gestoßen. Sie war derartig von Ottilie H. beeindruckt, dass sie sich spontan für die Ziele der Abstinenz begeisterte. Schon 1921 wurde sie 1.Vorsitzende des Frauenvereins für alkoholfreie Kultur in Bremen (Deutscher Bund für abstinente Frauen, Ortsgruppe Bremen e.V.). Das Ehepaar Fischer war mittlerweile nach Bremen gezogen, hier brachte sie 1918 und 1925 ihre beiden Töchter zur Welt. Als Ottilie H. 1925 über 90jährig starb, hatte sie in Anna Klara F. eine tatkräftige Nachfolgerin.
Sie baute mit großer Leidenschaft und wirtschaftlichem Geschick die alkoholfreien Gaststätten in Bremen aus. Bis zu ihrem Tod, im März 1967, leitete sie den Frauenverein in Bremen. Mit ihr wuchsen die Kontakte und Beziehungen in alle Welt. Seit 1924 wirkte sie mit im Bundesvorstand des Deutschen Frauenbundes für alkoholfreie Kultur; 1934 wurde sie dessen Bundesvorsitzende.
Als 1956 in Bremen, auf ihre Anregung hin, der Weltbund Christlicher Abstinenter Frauen tagte, wurde sie zur Vizepräsidentin dieses großen Bundes gewählt; in Neu-Dehli wählten die Delegierten sie 1962 zur ersten Vizepräsidentin. Sie musste mit vielen Frauen im Deutschen Frauenbund für alkoholfreie Kultur schwierige Jahre, wie die Zeit der Weltwirtschaftskrise, des Faschismus, des 2.Weltkriegs und die Nachkriegszeit meistern. Sie und ihre Mitstreiterinnen verloren aber nie ihren Idealismus. Im Dritten Reich konnte sie die Arbeit des Frauenbundes fortführen. So wurden am Anfang auch dahingehend Hoffnungen in den "Führer" gesetzt, dass die eigene Arbeit des Frauenvereins nun starke Unterstützung von Seiten des Staates erfahren würde. Wenn auch die Forderungen nach einem gesunden Leben, der Kampf gegen die Droge Alkohol mit allen ihren negativen Folgen für die Familie, Frauen, Kinder und Jugendliche mit der Ideologie der Nationalsozialisten in Einklang zu stehen schien, so bedeutete sie für den Frauenverein aber keine reibungslose Anpassung und Unterwerfung in die paramilitärische Formierung der Gesellschaft. Die emanzipativen Elemente dieser Frauenbewegung stießen immer wieder an Grenzen, und Anna Klara Fischer verstand es, mit diesen Widersprüchen umzugehen und die Handlungsfähigkeit des Vereins durch die NS-Zeit hindurch zu erhalten.
So war sie z.B. bereit, während der Olympiade 1936 mit ihren Frauen die mehr als 400 Sportlerinnen zu versorgen.
Gleichzeitig konnte sie aushandeln, dass der Frauenverein eine große Terrasse auf dem Olympia-Gelände eigenständig bewirtschaften durfte und diese Einnahmen direkt an den Verein gingen. Auf der anderen Seite führte sie einen zähen Kampf gegen die Zwangsauflösung des Deutschen Frauenbundes für alkoholfreie Kultur. Sie verstand es zu verhindern, dass der Frauenverein in die NS-Frauenschaft überführt wurde, obwohl der politische Druck groß war.
Nach dem Krieg begann sie mit dem Wiederaufbau der alkoholfreien Gaststätten. Mit unermüdlichem Willen und großer Hartnäckigkeit setzte sie sich für den Kampf gegen den Alkoholmissbrauch in allen gesellschaftlichen Bereichen ein. Ob es um die Novellierung des Gaststättengesetzes ging oder um den Jugendschutz, sie mischte sich in die öffentliche Debatte ein. Schon 1946 war sie Gründungsmitglied des Bremer Frauenausschusses (BFA) und hat dort viele Jahre lang mit engagierten Bremerinnen überparteilich zusammengearbeitet. Auch im Parlament war sie keine Unbekannte. Anna Klara Fischer steht nach dem Tod Ottilie Hoffmanns für die weitere Geschichte dieser alkoholfreien Gaststätten in Bremen und für die Arbeit des Frauenvereines für alkoholfreie Kultur e.V. Als sie im 80.Lebensjahr starb, war für sie noch nicht absehbar, dass ein Ottilie-Hoffmann-Haus nach dem anderen mit der Zeit schließen musste. Im heutigen "Ambiente" am Osterdeich, einem ehemaligen Ottilie-Hoffmann-Haus, ist noch etwas von der alten Gastlichkeit dieser Häuser zu spüren.
Sie erhielt die Goldene und Silberne Ehrenplakette des Deutschen Paritätischen Wohlfahrtsverbandes.